Stochastic Process dan White Noise

Tutorial ini masih ada hubungan dengan tutorial sebelumnya "Basic Random Variabel".

"Stochastic Process" yang juga dinamakan "random process" adalah bentuk "non-deterministic" sistem. Sistem ini tidak dapat diketahui secara pasti tapi kita bisa mengetahuinya lewat "probability". Contoh ketika kita melempar koin kita tidak akan tahu secara pasti apakah bagian atas koin ataukah bagian bawah yang akan muncul, tapi kita tahu secara pasti probability = 50%. Karena stochastic process adalah random variabel yang berubah terhadap waktu maka "probability distribution function" atau PDF juga berubah terhadap waktu sebagai berikut,

Dan mempunyai "probability density function" atau "pdf" adalah sebagai berikut,

Semua persamaan statistik yang kita definikan pada tutorial sebelumnya (Basic Random Variabel) adalah untuk satu random variabel saja. Kita membutuhkan statistik yang sama tetapi dapat berubah terhadap waktu. Yaitu "Autocorrelation".  Matrik correlation Rx adalah ukuran statistik untuk menentukan correlation antara state variabel, yang didefinikan sebagai berikut,

Ketika t1 = t2 = t maka correlation matrik  yang dinamakan "Covariance Matrix". Persamaan covariance matrik diatas membuktikan bahwa matrik Rx adalah simetri matrik (n x n matrik). Jika Rx adalah diagonal matrik maka state variabel dikatakan "uncorrelated". Elemen diagonal matrik Rx adalah variance dari random variabel, sedangkan elemen selain diagonal adalah correlation dari random variabel.

Fourier transform dari autocorrelation matrik dinamakan "Power Spectral Density" dan didefinikan sebagai berikut,

Power spectral density Sx(w) adalah ukuran untuk menentukan seberapa besar power dari random signal x(t) yang berubah terhadap frekuensi w.

Salah satu bentuk sederhana dari power spectral density adalah "White Noise". White noise mempunyai power spectral density yang konstan,

Dan mempunyai correlation matrik yang dikalikan dengan "unit impulse", yaitu,



Persamaan correlation white noise diatas menandakan covariance dari white noise adalah tak hingga, Rw(0)=infinite. Perhatikan juga correlation matrik adalah nol untuk . Ini menandakan tidak ada correlation dengan waktu; tidak ada correlation antara w(t) dengan . Dengan kata lain white noise adalah 100% random.