Desain Kontrol dengan "Optimal Control" Part I

Pada tutorial berikut penulis akan menjelaskan bagaimana mendesain kontrol dengan "optimal control". Blok diagram yang digunakan untuk desain ini adalah sama dengan blok diagram pada "Desain Kontrol dengan Pole - Placement (Part I)" yaitu sebagai berikut.

Lalu apa bedanya dengan kontrol ini? Yang membedakan adalah dengan objektif yang diberikan kontrol ini mampu menentukan kontrol yang memerlukan energi paling sedikit. Misal banyak cara untuk mendesain kontrol  DC motor namun dari semua cara banyak yang memerlukan power yang besar, dengan kontrol ini maka dapat ditentukan kontrol mana untuk mendapatkan yang paling sedikit memerlukan energi untuk menggerakkan motor. Dengan kata lain mencari yang "optimal".

Adapun kriteria yang harus dipenuhi adalah sistem harus mempunyai "Controllability" dan "Observability".

Desain proses untuk kontrol ini sama dengan kontrol pole - placement. Hanya berbeda bagaimana untuk mendapatkan konstanta Gain K. Berikut adalah persamaan plant dalam state - space yang mirip dengan "pole - placement"

Dengan u adalah sebagai berikut,

Kemudian kriteria "optimality" pada kontrol ini adalah untuk meminimalkan skalar objektif J yang didefinikan sebagai berikut,

J adalah nilai skalar, x adalah state vektor dengan dimensi n x 1, u adalah input vektor dengan dimensi r x 1, Q adalah simetri matrik dengan dimensi n x n, dan R adalah simetri matrik dengan dimensi r x r. Q dinamakan "State Weighting Matrix" dan R dinamakan "Control Cost Matrix".

Untuk mendapatkan penyelesaian dari "Regulator Gain" K maka kita harus menyelesaikan persamaan berikut untuk mendapat matrik P. Persamaan ini dinamakan "Reduced - Matrix Ricatti Equation".

Matrik Ricatti biasanya diselesaikan dengan metode numeric seperti metode Runge-Kutta.

Regulator gain K dapat diperoleh dengan persamaan berikut,



Untuk mendapatkan closed-control dengan settling time, damping ratio, dan overshoot yang kita inginkan kita harus mentuning matrik Q dan R. Biasanya sebagai awalan, engineer akan men-set matrik ini ke identity matrik (matrik dengan elemen diagonalnya adalah bernilai 1).

Untungnya ada perintah pada MATLAB untuk mendesain regulator gain K,

>> [K, P, E] = lqr(A,B,Q,R)

K adalah regulator gain, P adalah hasil dari penyelesaian matrik Ricatti, E adalah closed-loop pole, A dan B adalah sistem state - space plant, Q dan R adalah "state weigting matrix" dan "control cost matrix".

Bersambung...