State Space dan Linearization

Dalam sistem kontrol anda akan banyak menjumpai istilah state – space. Penulis akan menjelaskan secara mudah apa itu state – space disertai dengan contohnya. State – space mempunyai keuntungan diantara yang lain yaitu state – space bisa digunakan untuk single input single output (SISO) dan multi input multi output (MIMO), dan perhitungan state – space cukup mudah ketika diimplementasikan dalam program.

Berikut adalah bentuk umum persamaan dari state – space.

Dimana x adalah state vektor yang menjelaskan state dari sistem. State vektor adalah n-kolom vektor dengan n adalah jumlah order dari sistem. (Jangan kuatir jika anda belum mengerti nanti akan lebih mudah ketika penulis memberikan contoh). A adalah matrik dengan n baris dan n kolom. Untuk sistem SISO, u adalah skalar sistem input dan y adalah skalar output. B adalah vektor n-baris dan 1-kolom. C adalah vektor 1-baris dan n-kolom. dan d adalah skalar value. Untuk Linear Time-Invariant sistem A, B, C, dan skalar D adalah konstanta.

Untuk sistem MIMO, vektor B, C, dan d akan menjadi matriks dengan sejumlah baris dan kolom.

Dalam MATLAB Sistem Control Toolbox, perintah "ss()" akan membuat state - space model. Formatnya adalah seperti berikut.

>> sys = ss(A, B, C, D)

dengan A, B, C, D adalah skalar, vektor, atau matrik dengan dimensi tertentu.

NOTE: Ketika menggunakan MATLAB Sistem Control Toolbox, secara default MATLAB menggunakan state - space model.

Sebagai contoh kita akan mendesain seperti gambar berikut. Medan magnet yang diproduksi oleh lilitan coil akan menarik bola sehingga bola akan kelihatan melayang di udara. Sistem diatas mempunyai persamaan sebagai berikut,

h adalah posisi vertikal dari bola, i adalah arus yang mengalir pada coil, M adalah massa bola, g adalah gravity, L adalah induktansi, R adalah resistansi, K adalah koefisien yang menentukan gaya magnet yang diberikan pada bola. Misal M = 0.05kg, K = 0.0001, L = 0.01H, R = 1ohm, g = 9.81 m/s^2. Ketika sistem dalam keadaan seimbang (bola melayang di udara) adalah saat dimana h = K i^2/Mg (pada point dh/dt = 0). 

Karena sistem diatas adalah non-linear, kita akan melinearkan pada titik h0=0.01m (dimana i0=7Amp).

Dan persamaan

Sekarang karena sistem diatas mempunyai order 3, yaitu 

Maka state vektor yang dipilih adalah 

Sehingga

INGAT: tanda dot menandakan turunan.

Jika y adalah output dan kita memilih dh sebagai output maka y=dh.

Sehingga kita sudah mendapatkan konstanta A, B, C, dan d, sebagai berikut,

dan d=0

Sekarang anda bisa memasukkan parameter diatas pada MATLAB.

>> A = [0 1 0; 980 0 -2.8; 0 0 -100] enter

>> B = [0;0;100] enter

>> C = [1 0 0] enter

>> d = 0 enter

>> sys = ss(A,B,C,d)

Selamat sekarang anda sudah bisa membuat sistem dengan state space, melinearkan sistem, dan menggunakannya dengan MATLAB. ^^